Zadání pro želvy a sviště k dostání také na nástěnce před učebnou fyziky.
NEŘEŠ – 1. kolo, 2.10. – 12.10. 2012
Svišti
Motto: 2 není rovno 3. Ani pro velmi velké hodnoty 2.
1) Tentokrát nebude Vaším úkolem něco vymyslet, vypočítat nebo
vyřešit. Tentokrát bohatě postačí, když budete pečlivě a přesně
rýsovat a držet se těchto pokynů: Je dán trojúhelník ABC se stranami
a = 6 cm, b = 7cm, c = 8cm. Z každého vrcholu veďte kolmici na
protější stranu (z vrcholu C kolmici na stranu c apod.). Paty těchto
kolmic označte D, E, F. Tyto kolmice by se měly protnout v jednom
bodě.
Označme ho G. Dále najděte středy stran trojúhelníka ABC.Středy stran značíme SAB, SAC, SBC. Nakonec najděte středy úseček AG,
BG, CG a označte je K, L, M. Najděte kružnici opsanou trojúhelníku
DEF. Kterými body tato kružnice prochází?
2) Součin čtyř po sobě jdoucích sudých čísel je 26880. Najděte tato čísla. (čtyři po sobě jdoucí sudá čísla jsou např. 212, 214, 216, 218)
3) Když o někom prohlásíme, že je poctivec, znamená to, že vždy říká pravdu. Když řekneme, že je lhář, znamená to, že vždy lže. Potkáte tři chlapce – Arnolda, Bédu a Cyrila
a. Arnold řekne: Všichni jsme lháři, Béda řekne: právě jeden z nás je poctivec.
b. Arnold řekne: Všichni jsme lháři, Béda řekne: právě jeden z nás je lhář. Kdo je poctivec a kdo je lhář?
NEŘEŠ – 1. kolo, 2.10. – 12.10. 2012
Želvy
Motto: Matematika je umění dávat stejná jména různým věcem.
(Jules Henri Poincare)
1) Najděte všechna celá čísla, pro které je číslo p prvočíslo:
p = (n2 + 3n + 3)•(n2 - 3n + 3)
2) Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu A. Na přeponě tohoto trojúhelníka je dán bod P. Když vedeme z bodu P kolmice na obě odvěsny, označíme jejich paty D, E. Najděte polohu bodu P takovou, že obdélník ADPE má obsah rovný třetině obsahu celého trojúhelníku.
3) Je dán rovnoběžník ABCD, který není obdélníkem. Označme K, L, M, N po řadě středy jeho stran AB, BC, CD, DA. Uvnitř tohoto rovnoběžníku se nachází bod X, který neleží na přímkách KM a LN. Najděte přímku p, která prochází bodem X a zároveň dělí rovnoběžník na dvě části, které mají vůči sobě co nejrozdílnější obsah. (nápověda: začněte situací, kdy X je průsečík úhlopříček).
Přejeme všem zúčastněným hodně štěstí a nápadů při řešení úloh. Řešení odevzdávejte do krabice na nástěnce před učebnou fyziky.