Zadání prvního kola soutěže NEŘEŠ

Želvy

Motto: Toto dokážeme metodou dlouhotrvajícího zírání. (Joel Franklin)

1)   V ředitelně se sešlo 6 studentů, kteří mají dostat buď důtku, nebo pochvalu. Dokažte, že se mezi nimi najdou tři studenti, kteří se navzájem znají, nebo 3 studenti, kteří se navzájem neznají.

2)   Je dán libovolný trojúhelník. Rozdělte ho na pět trojúhelníků se stejným obsahem. A to pomocí lomené čáry, jejíž krajní body leží na stranách trojúhelníka stejně jako body zlomu této čáry.

3)   Ve Švédsku jsou dva významné rody výrobců hokejových puků. Jeden z nich se jmenuje Urval Klaksson a druhý  Peter Ikea . Klaksson píše na své puky jedině pravdivé výroky, Ikea jedině nepravdivé výroky. Oba mají syny, kteří ctí rodinnou tradici výroby puků a nápisů na nich.

a)Jednou hrála česká reprezentace zápas s pukem, na kterém bylo napsáno „Erava nakirama töre Klaksson tr.“ (česky„Tento puk nevyrobil Klaksson jr.“). Kdo puk opravdu vyrobil?

b) Po drtivém vítězství 1-0 nad Švédy (toto se může stát jen v příkladech) se chlubil v šatně spoluhráčům Jaromír Jágr pukem, který zcela jistě podle nápisu na něm zhotovil Ikea starší. Co bylo napsáno na puku?

Svišti

Motto: Radost z uvažování a z chápání je nejkrásnějším darem Přírody. (Albert Einstein)

1)   Máme úsek číselné osy celých čísel, který je ohraničen čísly -5 (dále značíme jako bod A) a 26 (dále značíme jako bod D). Úsek AD zlomíme v celých číslech B a C tak, aby bod A splynul s bodem D. Tím vznikne trojúhelník ABC. Určete, kolik takových trojúhelníků existuje.

2)   Třídní profesor primy vyšetřuje, kdo rozbil okno. V primě každý buď vždy lže, nebo vždy mluví pravdu. Když říkáme, že dva z nich mají stejnou povahu, znamená to, že buď oba vždy lžou, nebo oba mluví vždy pravdu.

a.   Při vyšetřování Jarda tvrdí, že on okno nerozbil.

b.   Pepa říká: „Franta vždy lže“.

c.   Franta na to odpoví: „Pepa i Jarda mají stejnou povahu“.  

Kdo rozbil okno? Je Franta vždy pravdomluvný?

3)   Zádumčivý tercián Cajthaml si prohlížel rodinné album a uvědomil si, že každý z nás má dva rodiče a čtyři prarodiče. Zamyslel se nad tím, kolik má celkem předků v deseti předchozích generacích, jestliže jako první předchozí generaci počítá své rodiče. Kolik stránek by mělo album, ve kterém by na každé straně byly čtyři svatební fotografie (na svatební fotografii jsou vždy novomanželé a jejich rodiče)? Kolik má Cajthaml předků v deseti generacích?