NEŘEŠ – 2. kolo, 9.11. – 30.11. 2012
Svišti
Motto: 2 není rovno 3. Ani pro velmi velké hodnoty 2.
Dnešní příklad číslo 1 není za 6 bodů, ale za 9, příklad číslo 2 je za 4 body, příklad číslo 3 za 5 bodů.
1) Felix si vzal do ruky tužku a papír a začal psát na papír postupně přirozená čísla od jedné do sta tak, že mezi nimi nedělal mezery. Felix psal čísla takto:
1
12
123
1234
12345
.
.
.
123456789101112
12345678910111213
.
.
.
12345678910111213...96979899100
Pro každé z těchto čísel vyhledal jeho dělitele.
a. Kolik takto vzniklých čísel celkem bylo?
b. Kolik z nich bylo dělitelných třemi?
c. Jaký bude výsledek, když mezi číslice posledního čísla napíše Felix „+“?
Tedy: 1+2+3+4+5+. . . +9+6+9+7+9+8+9+9+1+0+0=?
2) Dokažte pomocí obrázku, že platí
(a+b+c)•(a+b+c) = a•a + b•b + c•c + 2•a•b + 2•a•c + 2•b•c
3) Příklad číslo 3 řešte na druhou stranu zadání. Na papíře je 25 bodů, které představují 1 elektrárnu (označena bleskem) a 24 měst na mapě. Mezi městy není elektrické vedení a je potřeba ho navrhnout tak, aby spotřeba drátu byla co nejmenší. Jakým způsobem budeme postupovat, když chceme najít takovou síť, která propojí města tak, že se proud dostane z elektrárny do každého města? (proud nemusí jít do každého města přímo z elektrárny, stačí když půjde z jiného města, které už bylo k elektrárně připojené). Popište co nejpodrobněji, jak budete postupovat.
NEŘEŠ – 2. kolo, 9.11. – 30.11. 2012
Želvy
Motto: Matematika je umění dávat stejná jména různým věcem.
(Jules Henri Poincare)
1) Najděte všechna celá čísla, pro které je číslo p prvočíslo:
p = (n2 + 3n + 3)•(n2 - 3n + 3)
2) Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu A. Na přeponě tohoto trojúhelníka je dán bod P. Když vedeme z bodu P kolmice na obě odvěsny, označíme jejich paty D, E. Najděte polohu bodu P takovou, že obdélník ADPE má obsah rovný třetině obsahu celého trojúhelníku.
3) Je dán rovnoběžník ABCD, který není obdélníkem. Označme K, L, M, N po řadě středy jeho stran AB, BC, CD, DA. Uvnitř tohoto rovnoběžníku se nachází bod X, který neleží na přímkách KM a LN. Najděte přímku p, která prochází bodem X a zároveň dělí rovnoběžník na dvě části, které mají vůči sobě co nejrozdílnější obsah. (nápověda: začněte situací, kdy X je průsečík úhlopříček).
Hlavní stránka
