Páté kolo soutěže NEŘEŠ - zadání

Zadání je opět k dostání na nástěnce před učebnou fyziky.

NEŘEŠ – 5. kolo, 12.2.2013 – 1.3. 2013  

Svišti 

Motto: Matematika nám osvětluje nejskrytější pravdy a vynáší je na světlo.

(Leonard Euler)

 1)  Určete poslední dvojčíslí čísla

1 + 1∙2 + 1∙2∙3 + 1∙2∙3∙4 + ... + 1∙2∙3∙...∙2012∙2013 

2)  Najděte nejmenší přirozené číslo, které končí číslicí 6, přičemž po přehození této číslice z konce na začátek dostaneme čtyřnásobek původního čísla.  

3)  Paní učitelka Smolná připravila pro svou třídu písemku ve třech verzích, aby žáci nemohli opisovat. V každé verzi zadala tři hrany kvádru a úkolem bylo vypočítat jeho objem. Úlohy si ale dopředu nevyřešila, a tak netušila, že výsledek je ve všech třech případech stejný. Pro zadání použila tyto délky hran: 12, 18, 20, 24, 30, 33, 70 a ještě další dvě přirozená čísla, která jsme vám neprozradili. Určete zbylá dvě čísla. Který z kvádrů má největší povrch?  

 NEŘEŠ – 5. kolo, 12.2. – 1.3. 2013  

Želvy 

Motto: Matematické problémy jsou tím využitelnější v praxi, čím obtížnější je jejich řešení.(Kvak)  

  1)  Kvak a Žbluňk se přeli o to, kdo umí plavat rychleji. Vystartovali z protilehlých břehů. Poprvé se míjeli ve vzdálenosti 6 metrů od levého břehu. Po doplutí k k protilehlému břehu se otočili a plavali zpět. Když se setkali podruhé, byli vzdáleni 2 metry od pravého břehu. Jak široká je řeka v místě, kde proběhl závod? Ze kterého břehu startoval Kvak, jestliže víme, že vyhrál? 

2)  Je dán rovnostranný trojúhelník ABC, jeho těžiště T a kružnice k(S;|ST|) taková, že A, B  k (takže kružnice k prochází body A, B a těžištěm). Dokažte, že:a.  Body C, T, S jsou kolineární, tj. leží na jedné přímce. (2 body)b.  Bod C leží na kružnici m(S; 2∙|ST|)  (4 body) 

3)      Určete hodnotu výrazu  . (tentokrát dáme dokonce nápovědu: zaveďte substituci a = , b = , určitě to pomůže) ....celé zadání zatím jen na nástěnce